Rechner für quadratische Gleichungen

Quadratische Lösungsformel auf einen Blick#

Ein Rechner für quadratische Gleichungen löst jede Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 nach x. Er nutzt die quadratische Lösungsformel, x = (-b plus oder minus die Quadratwurzel aus (b^2 - 4ac)) geteilt durch 2a. Sie geben die drei Koeffizienten a, b und c ein, und er liefert die Lösungen samt der Diskriminante.

Wie sieht ein gerechnetes Beispiel zur quadratischen Lösungsformel aus?#

Nehmen Sie x^2 - 5x + 6 = 0, also a = 1, b = -5 und c = 6. Die Diskriminante b^2 - 4ac ist (-5)^2 - 4 mal 1 mal 6, das sind 25 - 24 = 1. Die Quadratwurzel von 1 ist 1, also x = (5 plus oder minus 1) geteilt durch 2. Das ergibt x = (5 + 1) / 2 = 3 und x = (5 - 1) / 2 = 2. Beide gehen auf, denn 3 + 2 = 5 und 3 mal 2 = 6.

Was sagt Ihnen die Diskriminante?#

Die Diskriminante ist der Teil unter der Wurzel, b^2 - 4ac, und sie legt Anzahl und Art der Lösungen fest, noch bevor Sie fertig rechnen.

Für 2x^2 + 3x - 2 = 0 ist die Diskriminante 3^2 - 4 mal 2 mal -2 = 9 + 16 = 25, also positiv, die Lösungen sind daher reell: x = 0,5 und x = -2.

Geben Sie Ihre Werte für a, b und c oben in den Rechner ein, um die genauen Lösungen und die Diskriminante zu erhalten, samt komplexer Lösungen, wenn die Diskriminante negativ ist. Der Koeffizient a darf nicht null sein, sonst ist die Gleichung linear statt quadratisch.

So nutzen Sie den Rechner#

Tragen Sie die Koeffizienten a, b und c aus Ihrer quadratischen Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 ein. Der Rechner ermittelt die Diskriminante und die Lösungen. Auch komplexe Lösungen werden angezeigt, falls die Diskriminante negativ ist. Beachten Sie: a darf nicht null sein, sonst handelt es sich nicht um eine quadratische, sondern um eine lineare Gleichung.

Weitere gerechnete Beispiele#

Zwei komplexe Lösungen#

Für die Gleichung x^2 + 2x + 5 = 0 ergibt sich eine Diskriminante von 2^2 - 4 mal 1 mal 5 = 4 - 20 = -16. Weil sie negativ ist, resultieren komplexe Lösungen: x = (-2 plus oder minus die Quadratwurzel aus -16) / 2 = -1 plus oder minus 2i.

Eine doppelte Lösung#

Bei 3x^2 + 6x + 3 = 0 ergibt die Diskriminante 6^2 - 4 mal 3 mal 3 = 36 - 36 = 0. Eine Diskriminante von null führt zu einer doppelten Lösung: x = -6 / (2 mal 3) = -1.

Woher die Formel kommt#

Die quadratische Lösungsformel wird durch quadratische Ergänzung von ax^2 + bx + c = 0 hergeleitet. Teilen Sie zunächst durch a, verschieben Sie die Konstante, dann fügen Sie das Quadrat von b/(2a) auf beiden Seiten hinzu, um ein vollständiges Quadrat zu bilden. Nachdem Sie die Wurzel gezogen haben, lässt sich x isolieren und man erhält: x = (-b plus oder minus die Quadratwurzel aus (b^2 - 4ac)) / 2a.

Häufige Fragen#

Was ist eine quadratische Gleichung?#

Das ist eine Polynomgleichung zweiten Grades in der Form ax^2 + bx + c = 0, wo a, b und c Konstanten sind und a nicht null sein darf. Der höchste Exponent von x ist 2.

Können Sie ein vollständiges Beispiel zur quadratischen Lösungsformel zeigen?#

Nehmen wir 2x^2 + 5x - 3 = 0. Hierbei sind a = 2, b = 5 und c = -3. Die Diskriminante berechnet sich zu 5^2 - 4 mal 2 mal -3 = 25 + 24 = 49 und ihre Quadratwurzel ist 7. Somit erhalten wir x = (-5 plus oder minus 7) / 4, was zu den Lösungen x = 0,5 und x = -3 führt.

Was, wenn die Diskriminante null ist?#

Es gibt dann genau eine doppelte reelle Lösung. Sie lautet x = -b / 2a, da der Wurzelterm wegfällt.

Was ist der Unterschied zwischen einem Polynom und einer quadratischen Gleichung?#

Polynomgleichungen können beliebige Grade haben. Eine quadratische Gleichung ist speziell zweiten Grades, mit x^2 als höchstem Term. Jede quadratische Gleichung ist ein Polynom, aber nicht jedes Polynom ist quadratisch.

Wo werden quadratische Gleichungen verwendet?#

Quadratische Gleichungen kommen in der Physik bei Wurfbewegungen, in der Technik für Statik- und Optimierungsprobleme, sowie in der Wirtschaft für Kosten- und Umsatzmodelle zum Einsatz. Der indische Mathematiker Brahmagupta hat um 628 n. Chr. ein allgemeines Lösungsverfahren beschrieben.