Quadratwurzelrechner

Quadratwurzelrechner auf einen Blick#

Ein Quadratwurzelrechner findet die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die eingegebene Zahl ergibt. Die Quadratwurzel von x, geschrieben √x, ist der Wert y, für den y mal y gleich x ist. So ist √25 gleich 5, denn 5 mal 5 ergibt 25. Negative Eingaben liefern ein imaginäres Ergebnis.

Das sind Quadratzahlen, ihre Wurzeln sind also ganze Zahlen. Für Zahlen dazwischen ist die Wurzel eine Dezimalzahl. Die Quadratwurzel von 50 liegt bei etwa 7,07, denn 7,07 mal 7,07 ergibt rund 50. Von Hand schätzen Sie sie über die beiden Quadratzahlen, zwischen denen sie liegt: 50 sitzt zwischen 49 (Wurzel 7) und 64 (Wurzel 8), also liegt √50 knapp über 7.

Geben Sie eine beliebige Zahl oben in den Rechner ein, um die genaue Quadratwurzel auf mehrere Nachkommastellen zu erhalten. Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind irrational, das Ergebnis wird daher gerundet und nicht exakt angezeigt.

Eine Quadratwurzel von Hand finden#

Wenn Sie es mit einer Zahl zu tun haben, die keine perfekte Quadratzahl ist, können Sie sich der Wurzel durch Mitteln nähern. Nehmen wir √12 als Beispiel.

1. Schätzen Sie den Bereich ab: 12 liegt zwischen 9 (dessen Wurzel 3 ist) und 16 (dessen Wurzel 4 ist), also befindet sich die gesuchte Wurzel zwischen 3 und 4. Starten Sie mit der Schätzung 3,5.
2. Berechnen Sie das Mittel der Schätzung mit 12 geteilt durch die Schätzung: (3,5 + 12 ÷ 3,5) ÷ 2 = 3,4643.
3. Nutzen Sie den neuen Wert für eine weitere Annäherung: (3,4643 + 12 ÷ 3,4643) ÷ 2 = 3,4641.

Die Schätzung hat sich inzwischen stabilisiert, daher ist √12 ≈ 3,4641, was passt, da 3,4641 × 3,4641 in etwa 12 ergibt. Mit jeder Runde verdoppelt sich in etwa die Anzahl der korrekten Dezimalstellen.

Eine Quadratwurzel vereinfachen#

Um eine Wurzel in die einfachste Form zu bringen, ziehen Sie quadratische Faktoren heraus. Für √72 zerlegen Sie 72 in 36 × 2, ziehen die Wurzel aus der Quadratzahl und der Rest bleibt unter dem Radikalzeichen: √72 = √36 × √2 = 6√2. Diese Produktregel, √(a × b) = √a × √b, hilft auch beim Zusammenfassen von Wurzeln: √6 × √2 = √12 = 2√3.

Gleiche Terme lassen sich addieren wie Variablen: 4√2 + 7√2 = 11√2. Verschiedene Wurzeln wie √5 + √3 bleiben dagegen unverändert.

Wo Quadratwurzeln auftauchen#

Der Satz des Pythagoras beschreibt die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit c = √(a² + b²), daher hat ein 3-4-Dreieck die Hypotenuse √(9 + 16) = √25 = 5. Die quadratische Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a enthält im Kern eine Quadratwurzel. Der Abstand zwischen zwei Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) wird als √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] berechnet.

Häufige Fragen zur Quadratwurzel#

Was ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl?#

Eine reelle Zahl kann beim Quadrieren nicht negativ werden, daher ist das Ergebnis imaginär. Die Quadratwurzel von −25 ist 5i, wobei i durch i² = −1 definiert ist. Der oben genannte Rechner gibt für negative Eingaben diese imaginäre Form zurück.

Woran erkenne ich, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist?#

Ihre Quadratwurzel ist eine ganze Zahl. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100 sind die Quadratzahlen bis 100. Wenn der Rechner eine nicht beendende Dezimalzahl liefert, wie etwa √2 ≈ 1,41421, dann ist die Zahl keine Quadratzahl und ihre Wurzel ist irrational.

Findet der Rechner auch Kubikwurzeln und andere Wurzeln?#

Ja, das tut er. Wechseln Sie in den Modus für n-te Wurzeln und setzen Sie n: Mit n = 3 erhalten Sie die Kubikwurzel, also ∛27 = 3, da 3 × 3 × 3 = 27. Die Methode ist bei jeder positiven Wurzelordnung gleich.

Sind alle Quadratwurzeln irrational?#

Nein, nicht alle. Die Wurzeln von Quadratzahlen sind rationale, ganze Zahlen, wie √9 = 3. Nur die Wurzeln von Nicht-Quadratzahlen wie √2 und √3 sind irrational und setzen sich ohne Wiederholung fort.

Ist √x dasselbe wie x hoch ein Halb?#

Ja, das ist korrekt. Die Wurzelform √x und die Exponentenform x^1/2 bezeichnen dieselbe Hauptquadratwurzel. In der Algebra ist die Exponentenform praktisch, weil sie den üblichen Potenzregeln folgt.