Die Quadratwurzel einer Zahl x ist ein Wert y, sodass y^2 = x ist. Mit anderen Worten, es ist die Zahl, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, x ergibt. Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln — einen positiven und einen negativen Wert. Konventionell bezeichnen wir jedoch im Allgemeinen nur die positive Quadratwurzel als Hauptquadratwurzel einer Zahl.
Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln von 9 3 und -3, da 3^2 = 9 und (-3) ^2 = 9 ist. Aber die Hauptquadratwurzel von 9 ist nur 3.
Das Quadratwurzelsymbol √x wird verwendet, um die Hauptquadratwurzel von x zu bezeichnen. Multiplizieren Sie also mit √9 = 3.
Quadratwurzeln haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie:
Es ist daher wichtig zu verstehen, wie Quadratwurzeln gefunden werden. Unser kostenloser Quadratwurzelrechner unten macht das ganz einfach!
Um diesen Rechner zu verwenden:
Wenn Sie beispielsweise 100 in das obere Feld eingeben, zeigt der Taschenrechner an beiden Seiten und unten √100 = 10 an.
Sie können den Taschenrechner auch umgekehrt verwenden, um das Quadrat einer Zahl zu ermitteln, indem Sie die ursprüngliche Zahl in das untere Feld eingeben. Versuchen Sie, 5 in das untere Feld einzugeben - es zeigt, dass 5^2 = 25 ist.
Der Taschenrechner kann Quadratwurzeln für jede positive Zahl mit einer Genauigkeit von bis zu 15 Dezimalstellen ermitteln.
Schauen wir uns einige Beispiele an, um zu verstehen, wie die Rechnerausgabe zu interpretieren ist:
Egal, ob Sie Quadratwurzeln für Algebra, Quadratik, pythagoreische Tripel, vereinfachende Radikale oder eine andere Anwendung berechnen müssen, dieser Rechner ist ein fantastisches Werkzeug. Und wenn Sie die mathematischen Details hinter der Suche nach Quadratwurzeln verstehen möchten, lesen Sie weiter!
Für die meisten Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, ist es unmöglich, den exakten Quadratwurzelwert zu ermitteln. Es gibt jedoch Methoden, um Quadratwurzeln bis zu einem beliebigen Genauigkeitsgrad zu berechnen.
Hier ist ein einfacher Vorgang, den Sie manuell ausführen können, um eine ungefähre Quadratwurzel aus einem Wert von 25 zu ermitteln:
Versuchen wir ein anderes Beispiel, um diesen Prozess zu verdeutlichen:
Wir können hier aufhören, da die letzte Schätzung von 3,4641 Quadrat extrem nahe an 12 liegt. Also √12 ≈ 3,464.
Das gleiche Verfahren kann verwendet werden, um jede Quadratwurzel mit der erforderlichen Genauigkeit zu finden. Natürlich macht die Verwendung eines Taschenrechners den Vorgang viel schneller und einfacher! Es ist jedoch hilfreich, die zugrunde liegende Logik zu verstehen.
Quadratwurzeln folgen einigen wichtigen algebraischen Eigenschaften und Regeln, deren Kenntnis hilfreich ist:
Zum Beispiel:
Die Regeln für das Hinzufügen einer Wurzel und das Subtrahieren von Quadratwurzeln sind etwas knifflig:
In den letzten beiden Fällen addieren/subtrahieren wir die Koeffizienten gleicher Quadratwurzelterme.
Zum Beispiel:
Wenn eine Quadratwurzel im Nenner eines Bruchs erscheint, können wir sie loswerden, indem wir Zähler und Nenner mit diesem Quadratwurzelwert multiplizieren. Dies wird als Rationalisierung des Nenners bezeichnet.
Beispiel: (5)/(√3) = (5 x √3)/(3) = (5√3) /3
Diese Formeln eignen sich zum Quadrieren von binomialen Ausdrücken mit Quadratwurzeln:
Zum Beispiel:
Quadratwurzeln kommen in zahlreichen Bereichen der Mathematik, der Naturwissenschaften und in realen Situationen vor. Hier sind einige gängige Anwendungen:
Der Satz von Pythagoras bezieht sich auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn die Längen der beiden senkrechten Seiten a und b sind und die Länge der Hypotenuse (längste Seite) c ist, dann gilt:
c^2 = a^2 + b^2
Das heißt, wir nehmen an, dass wir, um beispielsweise die Länge der Hypotenuse c anhand der anderen beiden Seitenlängen a und b zu ermitteln, nehmen wir:
c = √ (a^2 + b^2)
Quadratwurzeln sind daher für die Lösung von Problemen mit rechtwinkligen Dreiecken in Geometrie, Trigonometrie, Navigation und vielen anderen Bereichen unerlässlich.
Quadratische Gleichungen sind Polynomgleichungen des Grades 2 und haben die Form:
ax^2 + bx + c = 0
Die Lösungen solcher Gleichungen beinhalten immer Quadratwurzeln. Bei Verwendung der berühmten quadratischen Formel ergeben sich die beiden Lösungen der Gleichung a, wenn sie von ≈ 0 ist, wie folgt:
x = (-b ± √ (b^2 - 4 ac))/(2a)
Quadratwurzeln sind unverzichtbar, um diese grundlegendste Art von Polynomgleichung zu lösen.
In der Geometrie- und Vektoranalyse wird der Abstand d zwischen zwei Punkten (x1, y1) und (x2, y2) in einer Ebene durch die Abstandsformel gegeben:
d = √ [(x2-x1) ^2 + (y2-y1) ^2]
Diese Formel basiert auf der Berechnung der Quadratwurzel der Summe der quadrierten Differenzen zwischen den Koordinatenwerten.
In Sequenzen und Reihen treten Quadratwurzeln bei der Lösung von Problemen auf, die Folgendes beinhalten:
Zum Beispiel ist der n-te Term einer arithmetischen Folge gegeben durch:
an = a + (n-1) d
Und für eine geometrische Sequenz:
an = ar^ (n-1)
Quadratwurzelmuster und Berechnungen sind für die Analyse solcher Sequenzen von entscheidender Bedeutung.
Einige andere wichtige Bereiche, in denen Quadratwurzeln häufig verwendet werden, sind:
Es ist klar, dass ein solides Verständnis der Quadratwurzeln in mehreren quantitativen Bereichen äußerst wertvoll ist! Mit diesem Leitfaden und unserem Online-Rechner haben Sie alles, was Sie brauchen, um mit der Berechnung von Quadratwurzeln zu beginnen.
Es gibt vier Hauptmethoden, um die Quadratwurzel einer Funktion zu ermitteln, die eine bestimmte Zahl zurückgibt:
Ja, absolut! Unser Rechner kann Wurzeln einer beliebigen Zahl positiver Ganzzahlen der Ordnung n ermitteln, indem er das Kontrollkästchen „n-te Wurzel“ verwendet. Markieren Sie es einfach, geben Sie den Wurzelwert n ein und geben Sie die Zahl ein, deren n-te Wurzel Sie berechnen möchten.
Negative Zahlen haben keine reellen Quadratwurzeln. Wir können jedoch zwei negative Zahlen nehmen und ihre Quadratwurzeln im komplexen Zahlensystem mit i = √ (-1) ermitteln. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl wird eine komplexe Zahl sein. Zum Beispiel √ (-25) = 5i.
Unser Quadratwurzelrechner kann Quadratwurzeln von Zahlen mit einem Wert von bis zu 15 Dezimalstellen ermitteln. Bei extrem großen Eingabezahlen ist es möglicherweise besser, zuerst die Primfaktorisierung oder eine andere manuelle Methode zu verwenden, um das Verfahren vor der Berechnung der Wurzeln zu vereinfachen.
Um einen Quadratwurzelausdruck zu vereinfachen:
Für √72 = √ (36 x 2) = √36 x √2 = 6√2
Wenn die angegebene Eingabezahl und das erhaltene Ergebnis eine Ganzzahl (ganze Zahl) ist, dann ist die eingegebene Zahl ein perfektes Quadrat. Unser Rechner zeigt dies an, indem er für solche Zahlen eine Meldung wie „X ist ein perfektes Quadrat“ anzeigt.
Einige wichtige Eigenschaften:
Gleichungen wie x^2 = 25 beinhalten Quadratwurzeln in ihren Lösungen. Mit der Quadratwurzeloperation: x^2 = 25
x = ±√25 x = ±5
Quadratische Gleichungen werden mit der quadratischen Formel gelöst, die Quadrat- und Kubikwurzel von Termen enthält.
Nein, die Quadratwurzeln perfekter Quadratzahlen wie 1, 4, 9, 16 usw. sind rationale Zahlen. Nur die Quadratwurzeln von nicht perfekten, finden Sie die Quadratwurzel positiver Ganzzahlen sind irrationale Zahlen.
Es gibt keinen Unterschied, beide Notationen stellen dieselbe Hauptquadratwurzel von x dar. Während √x die radikale Form ist, ist x^ (1/2) die Exponentialform für dieselbe ganze Quadratwurzel von 25.
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