Pythagoras-Rechner

Satz des Pythagoras auf einen Blick#

Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: a² + b² = c², wobei a und b die beiden Katheten sind und c die Hypotenuse, die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Für die Hypotenuse quadrieren Sie beide Katheten, addieren sie und ziehen aus der Summe die Quadratwurzel.

Bei Katheten von 3 und 4 ist c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, die Hypotenuse c ist also die Quadratwurzel von 25, das sind 5. Bei Katheten von 6 und 8 ist c² = 36 + 64 = 100, somit c = 10. Suchen Sie stattdessen eine fehlende Kathete, stellen Sie zu a² = c² minus b² um und ziehen die Wurzel.

Diese vier Sätze sind gängige pythagoräische Tripel: ganze Zahlen, bei denen a² + b² genau c² ergibt, also 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Geben Sie zwei beliebige Seiten oben in den Rechner ein, um die genaue dritte Seite samt Flächeninhalt und Umfang zu erhalten. Die meisten echten Maße sind keine ganzzahligen Tripel, rechnen Sie also mit einem Dezimalergebnis, das Sie passend runden.

Jede Seite finden#

Mit dem Satz a² + b² = c² können Sie die fehlende Seite bestimmen, sofern die anderen beiden Werte vorliegen. Die Katheten a und b treffen sich im rechten Winkel, c ist die gegenüberliegende Hypotenuse.

Die Hypotenuse finden#

Quadrieren Sie die beiden Katheten, addieren Sie die Ergebnisse und ziehen Sie die Wurzel: c = √(a² + b²). Bei Kathetenwerten von 6 und 8 ergibt sich c = √(36 + 64) = √100 = 10.

Eine Kathete finden#

Umstellen zu a = √(c² − b²). Wenn die Hypotenuse 13 und eine der Katheten 5 ist, dann ist die andere Kathete √(169 − 25) = √144 = 12.

Pythagoräische Tripel#

Ein pythagoräisches Tripel besteht aus drei ganzen Zahlen, bei denen a² + b² exakt c² ergibt, wodurch die Seitenlängen als ganze Zahlen resultieren, nicht als Dezimalwerte. Das Tripel 3-4-5 ist das einfachste Beispiel: 9 + 16 = 25. Wenn Sie die Tripel mit einer Zahl multiplizieren, erhalten Sie erneut ein Tripel, wie 6-8-10 oder 9-12-15. Viele Handwerker nutzen 3-4-5, um ohne Winkelmesser einen rechten Winkel zu prüfen: 3 Einheiten an der einen Kante, 4 an der anderen, und die Diagonale sollte 5 betragen.

Wo Sie ihn nutzen#

Verwenden Sie den Satz bei einer geraden Strecke über einen rechten Winkel: etwa der Diagonale eines rechteckigen Raums, der Länge einer Verstrebung in einem Rahmen oder dem Abstand zweier Punkte in einem Raster. Die meisten realen Maße ergeben keine ganzen Tripel, daher sollten Sie mit einem Dezimalwert rechnen, den Sie nach Bedarf aufrunden.

Häufige Fragen#

Was ist der Satz des Pythagoras?#

In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten: a² + b² = c². Dieser Satz gilt nur für Dreiecke mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie finde ich die Hypotenuse?#

Sie quadrieren beide Katheten, addieren diese und ziehen die Wurzel: c = √(a² + b²). Bei Katheten von 3 und 4 ergibt sich c = √(9 + 16) = √25 = 5.

Kann ich statt der Hypotenuse eine Kathete finden?#

Ja. Sie müssen zu a = √(c² − b²) umstellen. Geben Sie die Hypotenuse und eine Kathete ein, der Rechner liefert dann die fehlende Kathete. Bei c = 10 und b = 6 ergibt sich die andere Kathete √(100 − 36) = √64 = 8.

Was sind gängige pythagoräische Tripel?#

Zu den häufigsten gehören 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25. Diese Tripel erfüllen die Bedingung a² + b² = c², wobei alle Zahlen ganze Zahlen sind. Jedes Vielfache dieser Tripel bildet erneut ein Tripel.

Gilt der Satz auch für nicht rechtwinklige Dreiecke?#

Nein. Bei Dreiecken ohne 90-Grad-Winkel müssen Sie den Kosinussatz verwenden: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Der Satz des Pythagoras ist der spezielle Fall, bei dem der Winkel C 90 Grad beträgt und cos(C) gleich 0 ist.