Wahrscheinlichkeitsrechner

Wahrscheinlichkeitsrechner auf einen Blick#

Ein Wahrscheinlichkeitsrechner ermittelt, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Die Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse, also P = günstig / gesamt. Das Ergebnis reicht von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher), und Sie können es als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentsatz lesen.

Zum Beispiel hat eine 4 mit einem sechsseitigen Würfel 1 günstiges Ergebnis von 6, also P = 1/6, was etwa 0,167 oder 16,7 % ist.

Für zwei unabhängige Ereignisse, bei denen eines das andere nicht beeinflusst, multiplizieren Sie ihre Wahrscheinlichkeiten. Zweimal hintereinander eine 4 zu würfeln ist 1/6 mal 1/6 = 1/36, was etwa 0,028 oder 2,8 % ist. Bei abhängigen Ereignissen ändert sich die zweite Wahrscheinlichkeit, sobald das erste eingetreten ist.

Geben Sie Ihre günstigen und gesamten Ergebnisse oben in den Rechner ein, um die genaue Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Die Ergebnisse werden zur Anzeige gerundet, eine periodische Dezimalzahl wie 0,1666... erscheint also als 0,167.

Theoretische und empirische Wahrscheinlichkeit#

Die theoretische Wahrscheinlichkeit basiert auf der Struktur eines Problems, bei dem jedes mögliche Ergebnis gleich wahrscheinlich ist: Sie ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu den Gesamtergebnissen. Zum Beispiel ist die Chance, eine 4 mit einem fairen Würfel zu würfeln, 1/6. Die empirische Wahrscheinlichkeit hingegen wird aus beobachteten Daten ermittelt: Hierbei teilt man die Anzahl der aufgetretenen Ereignisse durch die Anzahl der Versuche. Wenn es an 90 von 180 Tagen geregnet hat, ergibt das eine empirische Wahrscheinlichkeit von 90/180 = 0,5 für Regen. Mit steigender Anzahl an Versuchen nähern sich diese beiden Wahrscheinlichkeiten immer mehr an.

Unabhängige und abhängige Ereignisse#

Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, beeinflusst das Eintreten des einen das andere nicht. In diesem Fall multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine 4 zu würfeln, ist 1/6 mal 1/6 = 1/36. Abhängige Ereignisse dagegen ändern ihre Wahrscheinlichkeiten, je nachdem, ob ein vorheriges Ereignis eingetreten ist, wie beim Ziehen von Karten ohne Zurücklegen. Zwei Asse aus einem 52-Karten-Deck zu ziehen ist 4/52 mal 3/51 = 12/2652 = 1/221, denn nach dem ersten gezogenen Ass befinden sich nur noch 3 Asse in 51 Karten.

Sich ausschließende Ereignisse und die Additionsregel#

Zwei Ereignisse schließen sich aus, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Ein Beispiel ist ein einzelner Würfel, der nicht gleichzeitig eine gerade und eine ungerade Zahl zeigen kann. Bei sich ausschließenden Ereignissen addiert man die Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine 2 zu würfeln, beträgt 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Bei Ereignissen, die sich überschneiden können, muss man den gemeinsamen Teil abziehen, um ihn nicht doppelt zu zählen: P(A oder B) = P(A) + P(B) minus P(A und B).

Das Gegenereignis: Wahrscheinlichkeit von "nicht"#

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt, erhalten Sie, indem Sie 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt, berechnen. Ist die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, 1/6, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, keine 4 zu würfeln, 1 minus 1/6 = 5/6. Das Gegenereignis ist oft der schnellste Weg, um "mindestens eins"-Aufgaben zu lösen: Die Wahrscheinlichkeit, in zwei Würfen mindestens eine 6 zu bekommen, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu bekommen, also 1 minus (5/6 mal 5/6) = 1 minus 25/36 = 11/36.

Häufige Fragen#

Wie berechnet man eine Wahrscheinlichkeit?#

Teilen Sie die Zahl der günstigen Ergebnisse durch die Zahl der möglichen Ergebnisse insgesamt. Bei einem sechsseitigen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, 1 von 6, also 1/6, was etwa 0,167 oder 16,7 % entspricht.

Was ist der Unterschied zwischen unabhängigen und abhängigen Ereignissen?#

Unabhängige Ereignisse haben keinen Einfluss aufeinander (denken Sie an zwei getrennte Würfelwürfe), und ihre Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert. Abhängige Ereignisse hingegen beeinflussen sich (wie beim Ziehen von Karten ohne Zurücklegen), was bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses nach dem ersten verändert.

Wie funktioniert die Multiplikationsregel?#

Wenn Sie mit zwei unabhängigen Ereignissen arbeiten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten. Angenommen, P(A) = 0,5 und P(B) = 0,3, dann ist P(A und B) = 0,5 mal 0,3 = 0,15.

Was sind sich ausschließende Ereignisse?#

Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können. Ein Beispiel wäre ein Würfel, der nicht sowohl eine gerade als auch eine ungerade Zahl zeigen kann. Ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert: P(A oder B) = P(A) + P(B).

Was ist der Unterschied zwischen theoretischer und experimenteller Wahrscheinlichkeit?#

Die theoretische Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem man von gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ausgeht, ohne einen Versuch durchzuführen. Die experimentelle (empirische) Wahrscheinlichkeit hingegen wird durch tatsächliche Versuche bestimmt: günstige Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der Versuche.

Welchen Bereich kann eine Wahrscheinlichkeit annehmen?#

Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1. Ein Wert von 0 bedeutet, das Ereignis ist unmöglich, 1 bedeutet, es ist sicher, und 0,5 steht für eine gleiche Chance. Sie können diesen Wert als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentsatz ausdrücken.