kgV-Rechner (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Der kgV-Rechner auf einen Blick#

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, durch die sich beide Zahlen ohne Rest teilen lassen. Ein kgV-Rechner findet es für Sie: Geben Sie zwei oder mehr Zahlen ein, und er liefert den kleinsten Wert, der ein Vielfaches jeder einzelnen ist.

Von Hand finden Sie das kgV auf zwei Wegen. Vielfache auflisten: Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, das erste gemeinsame Vielfache und damit das kgV von 4 und 6 ist also 12. Primfaktorzerlegung liefert dasselbe Ergebnis: 4 ist 2 mal 2, und 6 ist 2 mal 3, Sie nehmen also die höchste Potenz jeder Primzahl, 2 hoch 2 mal 3, das ist 4 mal 3, oder 12.

Geben Sie Ihre Zahlen oben in den Rechner ein, um das genaue kgV zu erhalten, und wählen Sie eine Methode, um die Primfaktorzerlegung oder das Auflisten Schritt für Schritt zu sehen. Das kgV ist immer mindestens so groß wie die größere Zahl, und wenn zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben, ist es schlicht ihr Produkt.

Wege, das kgV von Hand zu finden#

Es gibt verschiedene Methoden, um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu finden. Neben dem Auflisten der Vielfachen und der Primfaktorzerlegung führen einige weitere Verfahren zu demselben Ergebnis, besonders bei unterschiedlich großen Zahlen.

Die ggT-Abkürzung (zwei Zahlen)#

Wenn Sie zwei Zahlen haben, ermitteln Sie zuerst deren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Dann nutzen Sie die Formel: kgV(a, b) = (a mal b) geteilt durch ggT(a, b). Nehmen wir 6 und 8: Der ggT ist 2, also ist das kgV (6 mal 8) geteilt durch 2 = 48 geteilt durch 2 = 24. Sobald Sie den ggT kennen, ist dies der schnellste Weg.

Die Divisionsmethode (Leiter)#

Listen Sie die Zahlen nebeneinander auf und teilen Sie sie durch eine Primzahl, die mindestens eine von ihnen teilt. Ziehen Sie dabei alles andere unverändert herunter. Wiederholen Sie dies, bis nur noch Einsen übrig sind. Multiplizieren Sie dann alle verwendeten Teiler: Das Ergebnis ist das kgV. Diese Methode ist auch für drei oder mehr Zahlen geeignet, im Gegensatz zur ggT-Abkürzung.

Beispiel: Termine planen#

Stellen Sie sich vor, eine Mannschaft trainiert alle 4 Tage und eine andere alle 6 Tage, beide ab heute. Das nächste gemeinsame Training wird am kgV von 4 und 6 stattfinden. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, und die von 6 sind 6, 12, sodass sich die Trainingspläne am Tag 12 treffen. Genau hier zeigt sich der praktische Nutzen des kgV: Es ist der Punkt, an dem sich zwei wiederkehrende Zyklen erneut überschneiden.

Häufige Fragen zum kgV#

Wie findet man das kgV mit der Primfaktorzerlegung?#

Bei der Primfaktorzerlegung zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren und nehmen die höchste Potenz jeder vorkommenden Primzahl. Multiplizieren Sie diese anschließend. Für 8 (2 hoch 3) und 12 (2 hoch 2 mal 3) nehmen Sie 2 hoch 3 und 3, was 8 mal 3 = 24 ergibt. Also erhalten Sie kgV(8, 12) = 24.

Kann ein kgV-Rechner mehr als zwei Zahlen verarbeiten?#

Ja. Sie können alle gewünschten Zahlen eingeben, und der Rechner ermittelt den kleinsten gemeinsamen Wert, durch den sich jede dieser Zahlen teilen lässt. Sowohl die Divisionsmethode als auch die Primfaktorzerlegung sind auf drei oder mehr Zahlen anwendbar, während die ggT-Abkürzung nur für Zweierpaare geeignet ist.

Was ist die Divisionsmethode (Leiter)?#

Bei dieser Methode teilen Sie die Zahlen durch gemeinsame Primfaktoren, bis nur noch Einsen übrig bleiben. Anschließend multiplizieren Sie alle Teiler. Wenn Sie 15 und 20 haben, teilen Sie erst durch 5, was 3 und 4 ergibt, dann durch 3 und 2 (jeweils für eine Zahl), sodass das kgV 5 mal 3 mal 4 = 60 ist.

Was ist der Unterschied zwischen einem gemeinsamen Vielfachen und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen?#

Ein gemeinsames Vielfaches ist jede Zahl, die durch alle Eingaben teilbar ist. Davon gibt es unendlich viele. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl dieser Art. Für 20 und 30 sind 60, 120 und 180 gemeinsame Vielfache, aber das kleinste ist 60.

Warum sind Primfaktoren beim Finden des kgV nützlich?#

Das kgV muss jede Primzahl in ausreichendem Maße enthalten, um jede Eingabe abzudecken. Wenn Sie die höchste Potenz jeder vorkommenden Primzahl nehmen, stellen Sie sicher, dass das Ergebnis alle Eingaben teilt und nicht größer ist, als nötig. Genau das macht das kgV aus.

Ist das kgV manchmal gleich dem Produkt der beiden Zahlen?#

Ja, das kann vorkommen. Dies ist der Fall, wenn die Zahlen keine gemeinsamen Teiler haben (ihr ggT ist 1). Bei 4 und 5 gibt es keinen gemeinsamen Teiler, daher ist das kgV 4 mal 5 = 20. Haben die Zahlen jedoch gemeinsame Faktoren, ist das kgV kleiner als das Produkt.