Steigungsrechner

Steigung auf einen Blick#

Die Steigung einer Geraden, geschrieben m, misst ihre Stärke und Richtung als Anstieg über Lauf: die vertikale Änderung geteilt durch die horizontale Änderung zwischen zwei Punkten. Für die Punkte (x1, y1) und (x2, y2) lautet die Steigungsformel m = (y2 − y1) / (x2 − x1).

Ein gerechnetes Beispiel: Für die Punkte (1, 2) und (4, 8) ist der Anstieg 8 − 2, also 6, und der Lauf 4 − 1, also 3. Somit ist m = 6 / 3 = 2. Die Gerade steigt um 2 Einheiten für jede Einheit, die sie nach rechts geht.

Das Vorzeichen der Steigung verrät die Richtung der Geraden. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt von links nach rechts, eine Steigung von null ist eine waagerechte Linie, und eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung, weil der Lauf (x2 − x1) null ist und man nicht durch null teilen kann.

Kennen Sie die Steigung, schreiben Sie die Gerade in der Form y = mx + b, wobei m die Steigung ist und b der y-Achsenabschnitt, der y-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Im Beispiel oben ist m = 2 und die Gerade läuft durch (1, 2), was b = 0 ergibt, die Gleichung ist also y = 2x.

Geben Sie Ihre zwei Punkte oben in den Rechner ein, um die genaue Steigung, die Geradengleichung, den Neigungswinkel und den Abstand der Punkte zu finden. Rundung kann die letzte Nachkommastelle bei Winkel und Länge verschieben.

Die Steigungsformel#

Die Steigung, dargestellt als m, wird als Anstieg über Lauf definiert: das ist die vertikale Änderung geteilt durch die horizontale Änderung zwischen zwei Punkten. Für die Punkte (x1, y1) und (x2, y2) lautet die Formel: m = (y2 − y1) / (x2 − x1). Das Ergebnis zeigt Ihnen, wie viele Einheiten die Gerade steigt oder fällt, für jede Einheit, die Sie sich nach rechts bewegen.

Gerechnete Beispiele#

Steigung zwischen zwei Punkten#

Betrachten wir die Punkte (3, 4) und (7, 8): m = (8 − 4) / (7 − 3) = 4 / 4 = 1. Eine Steigung von 1 bedeutet, dass die Gerade für jede Einheit nach rechts um eine Einheit steigt, was einem Anstieg von 45 Grad entspricht.

Steigung als Gefälle#

Wenn eine Straße über eine Strecke von 500 m von 100 m auf 120 m Höhe ansteigt, berechnet sich die Steigung wie folgt: (120 − 100) / 500 = 20 / 500 = 0,04, also 4 %. Im Bauwesen wird die Steigung oft als Prozentsatz des Anstiegs pro 100 Einheiten horizontaler Strecke angegeben.

Arten der Steigung#

Das Vorzeichen und der Wert der Steigung beschreiben die Richtung der Gerade. Eine positive Steigung zeigt, dass die Linie von links nach rechts steigt, während eine negative Steigung einen Fall beschreibt. Eine Steigung von null kennzeichnet eine waagerechte Linie, da in diesem Fall kein Anstieg vorliegt. Bei einer senkrechten Linie ist die Steigung nicht definiert, weil der Lauf (x2 − x1) null ist und eine Division durch null nicht möglich ist.

Von der Steigung zur Geradengleichung#

Mit der Steigung lässt sich die Geradengleichung in der Form y = mx + b darstellen, wobei b der y-Achsenabschnitt ist, also der y-Wert, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Nutzen Sie die Steigung und einen bekannten Punkt, um b zu berechnen. Beispielsweise für m = 1 bei (3, 4): 4 = 1 × 3 + b, ergibt b = 1. Daraus folgt die Gleichung der Geraden: y = x + 1.

Häufige Fragen#

Wie finde ich die Steigung zwischen zwei Punkten?#

Ziehen Sie die y-Werte voneinander ab, um den Anstieg zu ermitteln, und die x-Werte für den Lauf. Teilen Sie dann das Ergebnis: m = (y2 − y1) / (x2 − x1). Für die Punkte (1, 2) und (4, 8) ergibt sich m = (8 − 2) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2.

Was bedeutet eine Steigung von null?#

Die Gerade ist waagerecht. Das heißt, beide Punkte liegen auf derselben y-Höhe, der Anstieg ist somit null und die Steigung m beträgt 0. Die Linie bleibt flach und verläuft weder nach oben noch nach unten.

Warum ist eine senkrechte Gerade undefiniert?#

Wenn beide Punkte denselben x-Wert haben, dann ist der Lauf (x2 − x1) null. Da eine Division durch null nicht definiert ist, bleibt die Steigung einer senkrechten Linie undefiniert, nicht unendlich.

Was bedeutet eine negative Steigung?#

Eine negative Steigung zeigt an, dass die Linie von links nach rechts fällt: Mit zunehmendem x-Wert sinkt der y-Wert. Dies tritt auf, wenn der Anstieg negativ und der Lauf positiv ist, zum Beispiel bei einer Steigung von −2.

Wie finde ich den y-Achsenabschnitt aus der Steigung?#

Setzen Sie die Steigung und einen Punkt in die Gleichung y = mx + b ein und lösen Sie nach b auf. Für m = 2 durch den Punkt (1, 2): 2 = 2 × 1 + b, ergibt b = 0 und die Gleichung der Geraden lautet y = 2x.

Wie rechne ich eine Steigung in Prozent um?#

Multiplizieren Sie die Steigung mit 100. Eine Steigung von 0,04 entspricht einem Gefälle von 4 %, also einem Anstieg von 4 Einheiten auf 100 Einheiten horizontaler Strecke. Solche Prozentangaben sind häufig im Straßen- und Rampenbau zu finden.