Dreieck Rechner

Rechtwinkliges Dreieck auf einen Blick#

Ein Rechner für rechtwinklige Dreiecke ermittelt die Seiten, Winkel und die Fläche eines Dreiecks mit einem 90-Grad-Winkel. Die beiden kurzen Seiten sind die Katheten, und die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse. Für die Seiten gilt der Satz des Pythagoras, für die Winkel die trigonometrischen Verhältnisse.

Für die Seiten gilt a² + b² = c². Für die Winkel ergibt sich jeder spitze Winkel aus einem Verhältnis zweier Seiten: Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse, Kosinus = Ankathete / Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete / Ankathete. Die Fläche ist das halbe Produkt der beiden Katheten: Fläche = ½ × Kathete1 × Kathete2.

Ein Beispiel mit den Katheten a = 3 und b = 4. Die Hypotenuse ist c = Wurzel aus (3² + 4²) = Wurzel aus 25 = 5. Die Fläche ist ½ × 3 × 4 = 6 Quadrateinheiten. Für den Winkel gegenüber der Seite mit Länge 3 ist Sinus = 3 / 5 = 0,6, was etwa 36,87 Grad ergibt; der Winkel gegenüber der Seite mit Länge 4 beträgt etwa 53,13 Grad. Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen 90 Grad, und alle drei Winkel zusammen 180 Grad.

Geben Sie zwei bekannte Werte oben in den Rechner ein, zwei Seiten oder eine Seite und einen Winkel, um die übrigen Seiten, Winkel, die Fläche und den Umfang genau zu erhalten. Die Winkel werden auf eine feste Anzahl Nachkommastellen gerundet, ein angezeigter Wert kann daher leicht von einer Rechnung per Hand abweichen.

Was Sie berechnen können#

Bei einem rechtwinkligen Dreieck haben Sie es mit einem 90-Grad-Winkel, zwei Katheten und der Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel) zu tun. Geben Sie dem Rechner einfach zwei beliebige Werte ein: entweder zwei Seiten oder eine Seite und einen spitzen Winkel. Er liefert Ihnen den Rest: die fehlenden Seiten, die spitzen Winkel, die Fläche und den Umfang.

Die Winkel mit Trigonometrie bestimmen#

Wenn Sie zwei Seiten kennen, lässt sich jeder spitze Winkel mit einem trigonometrischen Verhältnis berechnen: Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, Kosinus von Ankathete zu Hypotenuse und Tangens von Gegenkathete zu Ankathete. Mit der Umkehrfunktion berechnen Sie den Winkel. In einem 3-4-5-Dreieck hat der Winkel gegenüber der Seite mit der Länge 3 einen Sinus von 3/5 = 0,6, was bedeutet, dass der Winkel arcsin(0,6) ≈ 36,87 Grad ist. Der andere spitze Winkel ist dann 90 − 36,87 ≈ 53,13 Grad, und zusammen ergeben sie immer 90 Grad.

Fläche und Umfang#

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich als das halbe Produkt seiner beiden Katheten: Fläche = ½ × Kathete1 × Kathete2. Bei Katheten von 3 und 4 ergibt das ½ × 3 × 4 = 6 Quadrateinheiten. Der Umfang ist die Summe aller drei Seiten: 3 + 4 + 5 = 12 Einheiten.

Besondere rechtwinklige Dreiecke#

Es gibt zwei Arten von rechtwinkligen Dreiecken mit festen Seitenverhältnissen, die sich leicht merken lassen. Im 45-45-90-Dreieck sind die Katheten gleich lang, und die Hypotenuse misst das √2-Fache einer Kathete. Wenn die Katheten 1 betragen, ist die Hypotenuse etwa 1,414. Im 30-60-90-Dreieck stehen die Seiten im Verhältnis 1 : √3 : 2. Das bedeutet, dass die Seite gegenüber dem 30-Grad-Winkel halb so lang ist wie die Hypotenuse, und die gegenüber dem 60-Grad-Winkel ist das √3-Fache der kürzesten Seite.

Häufige Fragen#

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?#

Es handelt sich um ein Dreieck mit einem 90-Grad-Winkel. Die Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt, nennt man Hypotenuse und sie ist stets die längste Seite; die anderen beiden Seiten sind die Katheten.

Welche zwei Werte braucht der Rechner?#

Sie brauchen zwei beliebige Werte, solange einer davon eine Seite ist: entweder zwei Seiten oder eine Seite und ein spitzer Winkel. Mit diesen Angaben kann der Rechner die übrigen Seiten, beide Winkel, die Fläche und den Umfang ermitteln.

Wie finde ich die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks?#

Nutzen Sie das trigonometrische Verhältnis zweier Seiten und anschließend dessen Umkehrfunktion. Wenn Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse = 0,6, dann ist der Winkel arcsin(0,6) ≈ 36,87 Grad. Die drei Winkel ergeben zusammen immer 180 Grad, wobei die beiden spitzen Winkel zusammen 90 Grad betragen.

Wie finde ich die Fläche?#

Multiplizieren Sie die beiden Katheten miteinander und halbieren Sie das Ergebnis: Fläche = ½ × Kathete1 × Kathete2. Da die Katheten im rechten Winkel aufeinandertreffen, fungieren sie als Grundseite und Höhe. Bei Katheten von 6 und 8 ergibt sich eine Fläche von 24 Quadrateinheiten.

Wie unterscheidet sich das vom Rechner für den Satz des Pythagoras?#

Der Satz des Pythagoras stellt lediglich die Beziehung zwischen den drei Seitenlängen her (a² + b² = c²). Der hier beschriebene Rechner geht darüber hinaus: Er ermittelt mit Hilfe der Trigonometrie die Winkel und berechnet auch Fläche und Umfang. So können Sie auch mit einer Seite und einem Winkel starten und nicht nur mit zwei Seiten.