Dreieck Rechner

Rechtwinkliges Dreieck auf einen Blick#

Was berechnet der Dreieck Rechner?#

Er löst rechtwinklige Dreiecke. Sie geben zwei bekannte Werte ein, und er berechnet alle drei Seiten, beide spitzen Winkel in Grad und im Bogenmaß, die Höhe auf die Hypotenuse, die Fläche, den Umfang sowie Inkreis- und Umkreisradius. Für Dreiecke ohne rechten Winkel gibt es den Dreiecksrechner für beliebige Dreiecke, der mit drei Werten arbeitet.

Wie berechnet man ein Dreieck?#

Das hängt davon ab, was Sie kennen und ob das Dreieck einen rechten Winkel hat. Im rechtwinkligen Dreieck reichen zwei Angaben, darunter mindestens eine Länge oder die Fläche. Die fehlende Seite liefert der Satz des Pythagoras, a² + b² = c², die Winkel liefern Sinus, Kosinus und Tangens. Fehlt der rechte Winkel, brauchen Sie drei Angaben und den Kosinus- oder den Sinussatz.

Welche Winkel hat das 3-4-5-Dreieck?#

Es hat einen rechten Winkel von 90° und zwei spitze Winkel von etwa 36,87° und 53,13°. Der Winkel gegenüber der Seite 3 ist arctan(3 : 4) ≈ 36,87°, der andere ist 90° − 36,87° = 53,13°. Im Rechner oben sind a = 3 und b = 4 schon eingetragen, Sie sehen diese Werte also gleich beim Öffnen.

Was Sie berechnen können#

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90°. Die beiden Seiten, die diesen Winkel bilden, heißen Katheten, im Rechner a und b. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse c, und sie ist immer die längste Seite. Die spitzen Winkel heißen α (gegenüber von a) und β (gegenüber von b). Weil die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, gilt α + β = 90°.

Welche Kathete Gegenkathete und welche Ankathete ist, hängt vom Winkel ab. Für α ist a die Gegenkathete, weil sie dem Winkel gegenüberliegt, und b die Ankathete, weil sie einen Schenkel des Winkels bildet. Für β ist es genau umgekehrt.

Geben Sie genau zwei Werte ein. Es funktionieren zwei Seiten, eine Seite und ein spitzer Winkel, die Hypotenuse und die Fläche oder die Fläche und der Umfang. Zwei Winkel allein reichen nicht, weil sie nur die Form festlegen, nicht die Größe. Höhe und Umfang zusammen reichen dagegen aus. Winkel tragen Sie in Grad ein, und jeder muss kleiner als 90° sein. Kommazahlen schreiben Sie wie gewohnt mit Komma, also 2,5.

Alle Beispiele auf dieser Seite nutzen dasselbe Dreieck: a = 3, b = 4 und c = 5.

Die dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras#

Kennen Sie zwei Seiten, liefert der Satz des Pythagoras die dritte. Für die Hypotenuse gilt c = √(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Fehlt eine Kathete, ziehen Sie ab: b = √(c² − a²) = √(25 − 9) = 4. Für genau diese eine Rechnung reicht auch der Pythagoras-Rechner. Der Rechner auf dieser Seite liefert zusätzlich die Winkel, die Höhe und die beiden Radien.

Die Winkel mit Trigonometrie bestimmen#

Wenn Sie zwei Seiten kennen, berechnen Sie jeden spitzen Winkel über ein Seitenverhältnis. Der Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, der Kosinus das von Ankathete zu Hypotenuse, so definiert es der Wikipedia-Artikel Sinus und Kosinus. Der Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. Für α im 3-4-5-Dreieck heißt das:

• sin α = Gegenkathete : Hypotenuse = 3 : 5 = 0,6
• cos α = Ankathete : Hypotenuse = 4 : 5 = 0,8
• tan α = Gegenkathete : Ankathete = 3 : 4 = 0,75

Mit der Umkehrfunktion wird daraus der Winkel. arcsin(0,6), arccos(0,8) und arctan(0,75) ergeben alle α ≈ 36,87°. Der andere spitze Winkel ist dann 90° − 36,87° = 53,13°, und zusammen ergeben die beiden immer 90°. Der Rechner gibt sie als 36,8699° und 53,1301° aus, dazu im Bogenmaß 0,6435011 und 0,9272952 rad.

Seitenlänge mit Winkel berechnen#

Kennen Sie eine Seite und einen spitzen Winkel, stellen Sie die Seitenverhältnisse nach der gesuchten Seite um. Mit der Hypotenuse c = 5 und α = 36,87° gilt:

• a = c · sin α = 5 · sin 36,87° ≈ 3
• b = c · cos α = 5 · cos 36,87° ≈ 4
• β = 90° − 36,87° = 53,13°

Ist statt der Hypotenuse eine Kathete bekannt, hilft der Tangens: a = b · tan α = 4 · tan 36,87° ≈ 3. Weil 36,87° schon gerundet ist, zeigt der Rechner bei c = 5 und α = 36,87 für a den Wert 3,000007 statt genau 3. Solche Abweichungen in den letzten Stellen kommen immer vom gerundeten Winkel.

Fläche und Umfang#

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt der beiden Katheten, denn die eine Kathete ist die Grundseite und die andere die Höhe dazu: A = a · b : 2 = 3 · 4 : 2 = 6. Der Umfang ist die Summe aller drei Seiten, 3 + 4 + 5 = 12.

Für jedes andere Dreieck gilt die allgemeine Formel A = g · h : 2, also Grundseite mal zugehörige Höhe durch 2. Bei einer Grundseite von 10 cm und einer Höhe von 7 cm sind das 35 cm². Kennen Sie bei einem Dreieck ohne rechten Winkel nur Seiten und Winkel, berechnet der Dreiecksrechner die Fläche und die Höhen.

Im rechtwinkligen Dreieck rechnet dieser Rechner außerdem drei weitere Werte aus. Die Formeln stehen auch im Wikipedia-Artikel Rechtwinkliges Dreieck.

• Die Höhe h vom rechten Winkel auf die Hypotenuse: h = a · b : c = 12 : 5 = 2,4.
• Den Inkreisradius, also den Radius des größten Kreises, der ins Dreieck passt: Fläche durch halben Umfang, 6 : 6 = 1. Im rechtwinkligen Dreieck ist das dasselbe wie (a + b − c) : 2.
• Den Umkreisradius, den Radius des Kreises durch alle drei Ecken. Er ist die halbe Hypotenuse, 5 : 2 = 2,5, weil die Hypotenuse immer ein Durchmesser dieses Kreises ist, des Thaleskreises.

Besondere rechtwinklige Dreiecke#

Zwei rechtwinklige Dreiecke kommen so oft vor, dass es sich lohnt, ihre Seitenverhältnisse zu kennen.

• Im 45-45-90-Dreieck sind beide Katheten gleich lang, und die Hypotenuse ist √2-mal so lang. Bei Katheten von 7 misst sie 7√2 ≈ 9,9. Es ist ein halbes Quadrat, geteilt entlang der Diagonale.
• Im 30-60-90-Dreieck stehen die Seiten im Verhältnis 1 : √3 : 2. Die kurze Kathete gegenüber dem 30°-Winkel ist halb so lang wie die Hypotenuse. Bei der Hypotenuse 10 sind die Katheten 5 und 5√3 ≈ 8,66. Dieses Dreieck ist ein halbes gleichseitiges Dreieck.

Im Rechner lösen Sie beide mit einer Seite und einem Winkel, zum Beispiel c = 10 und α = 30. Er gibt dann a = 5, b = 8.660254 und β = 60° aus.

Winkel häufiger rechtwinkliger Dreiecke#

Die Tabelle zeigt die spitzen Winkel rechtwinkliger Dreiecke mit ganzzahligen Seiten und der beiden besonderen Dreiecke, auf zwei Nachkommastellen gerundet. α liegt gegenüber von a. Das 6-8-10-Dreieck hat dieselben Winkel wie das 3-4-5-Dreieck, weil es nur doppelt so groß ist.

Wo rechtwinklige Dreiecke gebraucht werden#

• Leitern. Laut der Fachinformation der VBG zu Leitern und Tritten beträgt der richtige Anlegewinkel zwischen Boden und Leiterholmen bei Sprossenanlegeleitern 65° bis 75° und bei Stufenanlegeleitern 60° bis 70°. Ist eine Sprossenleiter vom Fuß bis zum Anlegepunkt 4 m lang und steht sie im Winkel von 70°, erreicht sie 4 · sin 70° ≈ 3,76 m Höhe. Ihr Fuß steht dann 4 · cos 70° ≈ 1,37 m von der Wand entfernt. Im Rechner geben Sie dafür c = 4 und α = 70 ein. Zwischen 65° und 75° liegt der Fuß bei dieser Leiter 1,69 m bis 1,04 m von der Wand.
• Steigungen und Rampen. Höhenunterschied und waagerechte Strecke sind die Katheten, der Steigungswinkel ist α. Aus zwei Punkten berechnet der Steigungsrechner Steigung und Winkel direkt.
• Dächer. Beim Satteldach bilden die Höhe des Firsts über der Traufe und die halbe Hausbreite die Katheten, die Sparrenlänge ohne Überstand ist die Hypotenuse, und die Dachneigung ist der Winkel an der Traufe.
• Höhen und Entfernungen. Mit einer gemessenen Entfernung und einem Winkel bestimmen Sie die Höhe eines Baums oder Gebäudes über den Tangens. Stehen Sie 15 m entfernt und messen 35° bis zur Spitze, liegt sie 15 · tan 35° ≈ 10,50 m über Ihrer Augenhöhe.

Quellen#

• Wikipedia: Rechtwinkliges Dreieck
• Wikipedia: Sinus und Kosinus
• VBG Fachinformation: Arbeiten mit Leitern und Tritten (PDF)

Häufige Fragen#

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?#

Es ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse und ist immer die längste Seite. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

Welche zwei Werte braucht der Rechner?#

Zwei Werte, von denen mindestens einer eine Länge oder die Fläche ist. Sicher funktionieren zwei Seiten oder eine Seite und ein spitzer Winkel, außerdem Hypotenuse und Fläche oder Fläche und Umfang. Damit ermittelt er die übrigen Seiten, beide Winkel, die Höhe, die Fläche, den Umfang und die beiden Radien. Zwei Winkel allein lehnt er ab.

Wie finde ich die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks?#

Bilden Sie das Verhältnis zweier Seiten und wenden Sie die passende Umkehrfunktion an. Ist sin α = Gegenkathete : Hypotenuse = 0,6, dann ist α = arcsin(0,6) ≈ 36,87 Grad. Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen immer 90 Grad, alle drei Winkel 180 Grad.

Wie finde ich die Fläche?#

Multiplizieren Sie die beiden Katheten miteinander und halbieren Sie das Ergebnis: Fläche = Kathete · Kathete : 2. Da die Katheten im rechten Winkel aufeinandertreffen, sind sie Grundseite und Höhe zugleich. Bei Katheten von 6 und 8 ergibt sich eine Fläche von 24 Quadrateinheiten.

Wie unterscheidet sich das vom Rechner für den Satz des Pythagoras?#

Der Pythagoras-Rechner findet eine fehlende Seite aus den beiden anderen (a² + b² = c²) und zeigt dazu die Fläche. Dieser Rechner geht weiter: Er bestimmt mit Trigonometrie auch die Winkel, die Höhe, den Umfang und die beiden Radien. Außerdem können Sie mit einer Seite und einem Winkel starten, nicht nur mit zwei Seiten.

Kann ein rechtwinkliges Dreieck einen stumpfen Winkel haben?#

Nein. Der rechte Winkel belegt schon 90° der 180° Winkelsumme, für die beiden anderen bleiben zusammen 90°. Jeder von ihnen ist also kleiner als 90°, und der Rechner lehnt einen Winkel von 90° oder mehr ab.

Wie berechne ich ein Dreieck ohne rechten Winkel?#

Dafür ist der Dreiecksrechner da. Er braucht drei Werte, darunter mindestens eine Seite, und rechnet mit dem Kosinussatz und dem Sinussatz. Kennen Sie zwei Seiten und einen Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, kann es zwei passende Dreiecke geben. Der Dreiecksrechner gibt in diesem Fall nur eine Lösung aus, nämlich die, in der der berechnete Winkel spitz ist.