GCF-Rechner

Größter gemeinsamer Teiler auf einen Blick#

Der größte gemeinsame Teiler (ggT), auch größter gemeinsamer Faktor und im Englischen greatest common divisor (GCD) genannt, ist die größte ganze Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt. Der ggT von 12 und 18 ist 6, denn 6 ist die größte Zahl, die sowohl 12 als auch 18 glatt teilt.

Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen?#

Eine zuverlässige Methode ist die Primfaktorzerlegung. Zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren, nehmen Sie die gemeinsamen Faktoren und multiplizieren Sie diese miteinander. Für 12 und 18 gilt: 12 ist 2 x 2 x 3, und 18 ist 2 x 3 x 3. Gemeinsam sind eine 2 und eine 3, der ggT ist also 2 x 3, das ergibt 6.

Der euklidische Algorithmus ist bei großen Zahlen schneller. Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere und behalten Sie den Rest, dann wiederholen Sie das mit dem Teiler und diesem Rest, bis der Rest 0 ist. Der letzte Rest vor 0 ist der ggT. Für 18 und 12 gilt: 18 geteilt durch 12 lässt 6, dann 12 geteilt durch 6 lässt 0, der ggT ist also 6.

Geben Sie Ihre Zahlen oben in den Rechner ein und Sie erhalten den exakten ggT samt nachvollziehbarer Rechenschritte. Der ggT ist nur für positive ganze Zahlen definiert, und ist eine Eingabe 0, so ist der ggT die jeweils andere Zahl.

Drei Wege, den ggT zu finden#

Den größten gemeinsamen Teiler können Sie auf drei Arten ermitteln: durch das Auflisten der Teiler, mittels Primfaktorzerlegung oder durch den euklidischen Algorithmus. Das Auflisten ist praktisch bei kleineren Zahlen, die Primfaktorzerlegung ist bei steigenden Zahlenmengen effizienter, und der euklidische Algorithmus ist bei großen Zahlen besonders schnell.

Teiler auflisten#

Notieren Sie sich die Teiler jeder Zahl und suchen Sie sich den größten gemeinsamen heraus. Für 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12) und 18 (1, 2, 3, 6, 9, 18) lauten die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3 und 6, also ist der ggT 6.

Primfaktorzerlegung#

Jede Zahl wird in Primfaktoren zerlegt, die gemeinsamen Faktoren werden dann multipliziert. Bei 16, 24 und 76 ergibt sich: 16 ist 2 hoch 4, 24 ist 2 hoch 3 mal 3, und 76 ist 2 zum Quadrat mal 19. Der einzige gemeinsame Faktor ist 2 zum Quadrat, was den ggT zu 4 macht.

Euklidischer Algorithmus#

Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere und behalten Sie den Rest. Wiederholen Sie diesen Vorgang mit dem neuen Teiler und dem Rest, bis der Rest 0 ist. Bei 124 und 98: 124 geteilt durch 98 ergibt einen Rest von 26, dann 98 durch 26 ergibt 20, dann 26 durch 20 ergibt 6, dann 20 durch 6 ergibt 2, und schließlich 6 durch 2 ergibt 0. Der ggT ist also 2.

Was der Rechner akzeptiert#

Sie können ganze Zahlen eingeben, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen. Der ggT ist nur für positive ganze Zahlen definiert. Falls eine Eingabe 0 ist, ist das Ergebnis die andere Zahl, da jede Zahl die 0 teilt. Der ggT kann nie größer sein als die kleinste eingegebene Zahl.

Mit dem ggT Brüche kürzen#

Um einen Bruch zu kürzen, teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren ggT. Bei 18 und 24 beträgt der ggT 6, sodass 18/24 zu 3/4 gekürzt wird. Haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor außer 1, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt.

Häufig gestellte Fragen#

Was ist der Unterschied zwischen ggT und GCD?#

Es gibt keinen Unterschied. Größter gemeinsamer Teiler und greatest common divisor (GCD) meinen dasselbe: die größte ganze Zahl, die beide Werte teilt. Auch der Begriff highest common factor (HCF) wird dafür verwendet.

Wie unterscheidet sich der ggT vom kgV?#

Während der ggT die größte Zahl ist, die die Eingaben teilt, ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) die kleinste Zahl, die von allen Eingaben geteilt wird. Für 12 und 18 ist der ggT 6, das kgV aber 36.

Kann der ggT eine der eingegebenen Zahlen sein?#

Sicher, wenn eine Zahl die andere teilt. Bei 12 und 24 ist der ggT 12, weil 12 die 24 vollständig teilt.

Funktioniert der ggT mit negativen Zahlen?#

Der ggT wird immer als positiver Wert angegeben. Geben Sie negative Zahlen ein, wird er aus den Beträgen berechnet. Zum Beispiel ergibt der ggT von -8 und 12 den Wert 4.

Was bedeutet ein ggT von 1?#

Wenn der ggT 1 ist, gibt es außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, die Zahlen sind teilerfremd. So haben etwa 8 und 9 einen ggT von 1.