Dreiecksrechner

Dreiecksrechner auf einen Blick#

Ein Dreiecksrechner ermittelt die fehlenden Größen eines Dreiecks (Seitenlängen, Winkel, Flächeninhalt und Umfang) aus wenigen bekannten Maßen. Am häufigsten nutzt er zwei Formeln: die Flächenformel Fläche = 1/2 × Grundseite × Höhe und den Satz des Pythagoras, a² + b² = c², der im rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite liefert.

Fläche eines Dreiecks#

Multiplizieren Sie die Grundseite mit der Höhe und halbieren Sie das Ergebnis: Fläche = 1/2 × Grundseite × Höhe. Bei einer Grundseite von 6 und einer Höhe von 4 ist die Fläche 1/2 × 6 × 4 = 12 Quadrateinheiten.

Die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck finden#

Im rechtwinkligen Dreieck verbindet der Satz des Pythagoras die beiden Katheten (a und b) mit der Hypotenuse (c): a² + b² = c². Mit Katheten von 3 und 4 ist c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, also c = √25 = 5.

Kennen Sie stattdessen alle drei Seiten, liefert die Formel von Heron die Fläche ganz ohne Höhe: mit s = (a + b + c) / 2 ist Fläche = √(s(s − a)(s − b)(s − c)).

Geben Sie drei bekannte Maße oben in den Rechner ein, um die genauen Seiten, die Winkel, den Flächeninhalt und den Umfang zu erhalten. Die Ergebnisse werden gerundet, und mindestens eine Eingabe muss eine Seitenlänge sein, damit das Dreieck eine feste Größe bekommt.

Arten von Dreiecken#

Dreiecke zeichnen sich dadurch aus, dass sie drei Seiten und drei Winkel haben. Die Winkelsumme ist immer 180 Grad. Es gibt vier Haupttypen: das gleichseitige (alle Seiten und Winkel sind gleich groß), das gleichschenklige (zwei Seiten und die Basiswinkel sind identisch), das ungleichseitige (keine Seite gleicht der anderen) und das rechtwinklige (hier hat einer der Winkel 90 Grad).

Wie der Rechner ein Dreieck löst#

Man beginnt mit der Eingabe von drei bekannten Größen, wobei mindestens eine eine Seitenlänge sein muss, um die Dimensionen des Dreiecks zu bestimmen. Dann kann das Tool die restlichen Seiten, die Winkel, den Flächeninhalt und den Umfang berechnen. Achten Sie darauf, entweder Grad oder Bogenmaß für die Winkel auszuwählen, ein Mix führt zu Fehlern.

Welche Formeln er nutzt#

Kennt man zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, kommt der Kosinussatz zum Einsatz: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Für eine Seite oder einen Winkel, wenn die gegenüberliegende Seite und Winkel bekannt sind, gilt der Sinussatz: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Sind alle drei Seiten bekannt, hilft die Formel von Heron: Mit s = (a + b + c) / 2 berechnet man die Fläche als √(s(s − a)(s − b)(s − c)).

Beispiel: dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel#

Haben Sie zwei Seiten von 4 cm und 5 cm mit einem 60-Grad-Winkel dazwischen, dann nutzen Sie den Kosinussatz: c² = 4² + 5² − 2 × 4 × 5 × cos(60°). Weil cos(60°) 0,5 ist, ergibt die Rechnung 16 + 25 − 20 = 21, also ist c √21, ungefähr 4,58 cm.

Häufige Eingabefehler#

Bei jedem Dreieck muss die Dreiecksungleichung beachtet werden: Die Summe der beiden kürzeren Seiten muss größer sein als die der längsten Seite. Meldet der Rechner einen Fehler, sind die Seitenlängen vielleicht kein gültiges Dreieck, oder die Kombination aus Winkel und Seite passt nicht zusammen. Prüfen Sie, ob Ihre Winkelangaben positiv und zusammen unter 180 Grad sind.

Häufige Fragen#

Was kann ein Dreiecksrechner lösen?#

Er kann fehlende Seiten, Winkel, den Flächeninhalt und den Umfang berechnen, wenn drei Werte bekannt sind. Einer dieser Werte muss eine Seitenlänge sein. Das funktioniert mit gleichseitigen, gleichschenkligen, ungleichseitigen und rechtwinkligen Dreiecken.

Wie finde ich den Flächeninhalt eines Dreiecks?#

Wenn Sie die Grundseite und Höhe kennen, berechnet sich der Flächeninhalt als Hälfte der Grundseite mal Höhe. Bei drei bekannten Seiten kommt die Heronsche Formel zum Zuge. Der Rechner entscheidet je nach Ihren Eingaben, welche Methode passt.

Wie geht er mit rechtwinkligen Dreiecken um?#

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit zwei bekannten Katheten wird der Satz des Pythagoras genutzt: c = √(a² + b²), um die Hypotenuse zu bestimmen. Bei einer Seitenlänge und einem spitzen Winkel kommen Sinus, Kosinus oder Tangens zum Einsatz.

Kann er die Winkel bestimmen?#

Ja. Mit drei bekannten Seiten kann er jeden Winkel durch den Kosinussatz berechnen. Der dritte Winkel ergibt sich dann einfach aus der Differenz zu 180 Grad.

Was ist ein Außenwinkel?#

Ein Außenwinkel ist 180 Grad minus dem Innenwinkel an derselben Ecke. Er entspricht auch der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

Kann er schiefwinklige Dreiecke lösen?#

Ja, der Rechner kann das. Für schiefwinklige Dreiecke, die keinen rechten Winkel haben, verwendet er den Sinussatz und den Kosinussatz anstelle des Satzes von Pythagoras.