Z-Score-Rechner

Z-Wert Rechner auf einen Blick#

Ein Z-Wert, auch Standardwert oder Z-Score genannt, gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. Die Formel lautet z = (x - Mittelwert) / SD: Ziehen Sie den Mittelwert von Ihrem Wert ab und teilen Sie das Ergebnis durch die Standardabweichung. Ein positiver Z-Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter, und null bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht.

Ein Beispiel: Ein Testergebnis von 85 in einer Gruppe mit einem Mittelwert von 70 und einer Standardabweichung von 10 hat z = (85 - 70) / 10 = 15 / 10 = 1,5. Das Ergebnis liegt also 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert.

Diese Tabelle nutzt einen Mittelwert von 70 und eine Standardabweichung von 10. Geben Sie oben im Rechner Ihren eigenen Wert, Mittelwert und Ihre Standardabweichung ein, um den genauen Z-Wert zu erhalten und ihn in eine Wahrscheinlichkeit umzurechnen. Verwenden Sie Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit bei vollständigen Daten, oder die der Stichprobe, wenn Ihnen nur eine Stichprobe vorliegt.

Z-Wert eines Stichprobenmittels#

Wenn Sie eine Stichprobe statt eines einzelnen Wertes haben, teilen Sie durch den Standardfehler anstatt durch die Standardabweichung. Der Standardfehler wird berechnet, indem man die Standardabweichung durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße teilt. Die Formel lautet also: z = (Stichprobenmittel - Mittelwert der Grundgesamtheit) / (SD / Quadratwurzel von n). Angenommen, das Stichprobenmittel ist 115, der Mittelwert der Grundgesamtheit ist 100 und die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 15, bei n = 30. Dann berechnet sich der Standardfehler als 15 / Quadratwurzel von 30 = 2,739. Daraus folgt z = (115 - 100) / 2,739 = 5,48. Ein so hoher Z-Wert zeigt, dass das Stichprobenmittel deutlich außerhalb des erwarteten Zufallsbereichs liegt.

Eine Z-Tabelle lesen#

In einer Z-Tabelle, auch als Standardnormaltabelle bekannt, sehen Sie die Fläche unter der Normalverteilungskurve links von einem Z-Wert. Das zeigt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Wert darunter fällt. Die Zeilen geben die erste Nachkommastelle des Z-Wertes an, die Spalten die zweite. Ein Z-Wert von 0 entspricht 0,5, bedeutet also, dass 50 % der Werte unter dem Mittelwert liegen. Ein Z-Wert von 1,96 entspricht etwa 0,975, das bedeutet, dass 1,96 und -1,96 zusammen ungefähr 95 % einer Normalverteilung einschließen.

Wo Z-Werte zum Einsatz kommen#

Ein Z-Test überprüft, ob eine Stichprobe sich signifikant von einer bekannten Grundgesamtheit unterscheidet. Dies ist sinnvoll, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. Man vergleicht dabei den Z-Wert mit einem kritischen Wert. Prognoseintervalle nutzen Z-Werte, um den Bereich zu bestimmen, in dem künftige Werte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegen werden. In der Qualitätskontrolle wird ein Wert als Ausreißer angesehen, wenn sein Z-Wert außerhalb eines akzeptablen Bereichs liegt und er sollte dann überprüft werden.

Häufige Fragen zum Z-Wert#

Was bedeutet ein positiver oder negativer Z-Wert?#

Ein positiver Z-Wert zeigt, dass der Wert über dem Mittelwert liegt. Hingegen bedeutet ein negativer Z-Wert, dass der Wert darunter liegt. Ein Z-Wert von null zeigt, dass er genau dem Mittelwert entspricht. Die Zahl selbst gibt an, um wie viele Standardabweichungen der Wert entfernt ist.

Wie rechnet man einen Z-Wert in ein Perzentil um?#

Um einen Z-Wert in ein Perzentil umzurechnen, schlagen Sie den Z-Wert in einer Z-Tabelle nach. Diese Tabelle gibt die Fläche links davon als Dezimalzahl an. Multiplizieren Sie diese Dezimalzahl mit 100. Ein Z-Wert von 1,0 entspricht etwa 0,841, also dem 84. Perzentil.

Lassen sich Z-Werte auch bei nicht normalverteilten Daten verwenden?#

Prinzipiell können Sie einen Z-Wert für jede Art von Daten berechnen, da Sie nur einen Mittelwert und eine Standardabweichung benötigen. Allerdings gehen die Wahrscheinlichkeiten in der Z-Tabelle von einer Normalverteilung aus. Daher sollten Sie diese Wahrscheinlichkeiten mit Vorsicht verwenden, wenn Ihre Daten nicht normalverteilt sind.

Welche Eingabeformate akzeptiert der Rechner?#

Der Rechner akzeptiert Datenpunkte, die pro Zeile einzeln, durch Kommas getrennt, durch Leerzeichen getrennt oder gemischt eingegeben werden. Das bedeutet, dass Sie entweder eine Spalte oder eine durch Kommas getrennte Liste direkt einfügen können.