Varianzrechner

Varianz auf einen Blick#

Die Varianz misst, wie weit eine Menge von Zahlen um den Mittelwert gestreut ist. Bilden Sie den Mittelwert, ziehen Sie ihn von jedem Wert ab, um die Abweichungen zu erhalten, quadrieren Sie diese Abweichungen, addieren Sie sie und teilen dann durch die Anzahl der Werte. Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen, eine große, dass sie weit gestreut sind.

Es gibt zwei Varianten. Die Populationsvarianz, geschrieben als griechisches Sigma zum Quadrat, teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch N, die Gesamtzahl, und wird genutzt, wenn Ihre Daten die ganze Gruppe sind. Die Stichprobenvarianz, geschrieben als s zum Quadrat, teilt stattdessen durch N minus 1, um die kleinere Streuung auszugleichen, die man in einer Stichprobe meist sieht, und wird genutzt, wenn Ihre Daten eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit sind.

Wie berechnet man die Varianz?#

Nehmen Sie den Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Es gibt 8 Werte mit der Summe 40, der Mittelwert ist also 40 geteilt durch 8, das sind 5. Ziehen Sie den Mittelwert von jedem Wert ab, um die Abweichungen zu erhalten: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2 und 4. Quadrieren Sie jede Abweichung: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 und 16. Diese quadrierten Abweichungen ergeben zusammen 32.

Dieser Datensatz hat also eine Populationsvarianz von 4 und eine Stichprobenvarianz von etwa 4,571. Die Quadratwurzel der Varianz ergibt die Standardabweichung, die für die Populationsvariante 2 beträgt.

Geben Sie Ihre Zahlen oben in den Rechner ein, um den genauen Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung mit jedem Schritt zu erhalten. Wählen Sie die Populationsformel, wenn Ihre Daten die ganze Gruppe abdecken, oder die Stichprobenformel, wenn sie eine Teilmenge sind, denn diese Wahl ändert das Ergebnis.

Warum die Varianz die Abweichungen quadriert#

Abweichungen vom Mittelwert haben positive Werte, wenn sie darüber liegen, und negative, wenn sie darunter liegen. Addieren Sie alle Abweichungen einfach so, würden sich die positiven und negativen Werte ausgleichen, und das Ergebnis wäre null. Indem man jede Abweichung quadriert, werden alle Terme positiv, sodass sie sich nicht mehr aufheben. Außerdem betont das Quadrieren größere Abweichungen besonders stark, weshalb ein paar extreme Werte die Varianz erheblich beeinflussen können.

Varianz und Standardabweichung#

Zwar messen beide die Streuung, aber die Varianz ist in quadrierten Einheiten angegeben, während die Standardabweichung in den ursprünglichen Einheiten ausgedrückt ist. Bei dem Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 beträgt die Populationsvarianz 4 und die Populationsstandardabweichung ist die Quadratwurzel von 4, also 2. In vielen mathematischen Formeln ist die Varianz die natürliche Größe, doch die Standardabweichung wird oft bevorzugt, weil sie dieselben Einheiten wie die Daten hat.

Grenzen der Varianz#

Ausreißer beeinflussen die Varianz stark, weil das Quadrieren die Wirkung von Werten, die weit vom Mittelwert entfernt sind, verstärkt. Die quadrierten Einheiten der Varianz machen sie schwieriger zu interpretieren, weshalb oft die Standardabweichung als Alternative verwendet wird. Die Varianz zeigt nur die Größe der Streuung, nicht die Richtung, also ob die Werte eher höher oder niedriger liegen. Sie ist nie negativ, da sie aus quadrierten Zahlen gebildet wird. Nur wenn alle Werte gleich sind, ist die Varianz null.

Häufige Fragen zur Varianz#

Was ist der Unterschied zwischen Stichproben- und Populationsvarianz?#

Es ist der Nenner, der den Unterschied ausmacht. Bei der Populationsvarianz wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch N geteilt, also die vollständige Anzahl. Die Stichprobenvarianz teilt durch N minus 1, was als Bessel-Korrektur bekannt ist. Diese Korrektur gleicht aus, dass Stichproben oft die wahre Streuung unterschätzen. Im oben genannten Datensatz beträgt sie für die Population 4 und für die Stichprobe etwa 4,571.

Wie berechnet man die Varianz einer Stichprobe?#

Ermitteln Sie den Mittelwert der Stichprobe, ziehen Sie ihn von jedem Wert ab, quadrieren Sie die Differenzen, addieren Sie sie und teilen schließlich durch die Stichprobengröße minus 1. Der Rechner oben führt diese Schritte durch und zeigt sie einzeln an.

Kann die Varianz negativ sein?#

Nein. Da die Varianz aus der Mittelung quadrierter Differenzen entsteht und Quadrate nie negativ sind, bleibt die Varianz immer null oder positiv. Eine Varianz von null zeigt, dass alle Werte gleich sind.

Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?#

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Berechnen Sie die Varianz, ziehen Sie die Wurzel, und Sie erhalten die Streuung in den ursprünglichen Einheiten der Daten.