Mittelwert-Median-Modus-Rechner

Mittelwert, Median und Modus auf einen Blick#

Dieser Rechner findet die vier häufigsten Kennzahlen eines Datensatzes. Der Mittelwert ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert, sobald die Zahlen sortiert sind. Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Die Spannweite ist der größte Wert minus dem kleinsten.

Nehmen Sie den Datensatz 2, 3, 3, 5, 7. Sortiert ist er schon in der richtigen Reihenfolge. Der Mittelwert ist 2 + 3 + 3 + 5 + 7 = 20, geteilt durch 5 Werte, das sind 4. Der Median ist die Mitte der fünf sortierten Werte, also 3. Der Modus ist 3, denn die kommt zweimal vor und jeder andere Wert nur einmal. Die Spannweite ist 7 minus 2, also 5.

Um den Median bei gerader Anzahl zu finden, mitteln Sie die beiden mittleren Werte nach dem Sortieren. Ein Datensatz kann mehr als einen Modus haben oder keinen, wenn jeder Wert gleich oft vorkommt.

Geben Sie Ihre Zahlen oben in den Rechner ein, um den genauen Mittelwert, Median, Modus und die Spannweite zu erhalten. Die Ergebnisse folgen den üblichen Definitionen, Rundung und der Umgang mit gleich häufigen oder wiederholten Werten können die Endzahlen also verschieben.

Welche Kennzahl der Mitte Sie nehmen sollten#

Alle drei Kennzahlen beschreiben die Mitte eines Datensatzes, aber sie beantworten unterschiedliche Fragen. Der Mittelwert berücksichtigt jeden einzelnen Wert im Datensatz, weshalb er sich besonders gut für symmetrische Daten ohne Extremwerte eignet. Der Median hingegen ignoriert die Größe der extremen Werte und konzentriert sich nur auf die mittlere Position. Das macht ihn stabiler, wenn einige sehr große oder sehr kleine Werte den Mittelwert verzerren könnten. Der Modus schließlich ist der häufigste Wert und als einzige dieser drei Kennzahlen auch auf Kategorien statt auf Zahlen anwendbar.

Wenn es um Einkommen oder Immobilienpreise geht, wo einige wenige hohe Werte den Durchschnitt stark beeinflussen, erweist sich der Median oft als die ehrlichere Zahl. Bei einer fairen Münze, einem Würfel oder einer gleichmäßigen Verteilung liegen Mittelwert und Median in der Regel nah beieinander.

Den Median von Hand finden#

Ordnen Sie die Werte der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten. Dann suchen Sie die mittlere Position. Ist die Anzahl der Werte ungerade, so ist der Median der Wert genau in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl gibt es keine einzelne Mitte; hier ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Im Fall der Werte 4, 8, 15, 16, 23 gibt es fünf Werte, wodurch der Median der dritte Wert, 15, ist. Bei den Werten 4, 8, 15, 16 hingegen, mit vier Werten, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte: (8 + 15) / 2 = 11,5. Der Median muss nicht zwangsläufig ein tatsächlich im Datensatz vorkommender Wert sein.

Wenn der Modus uneindeutig ist#

Ein Datensatz kann einen, mehrere oder gar keinen Modus haben. Treten zwei Werte am häufigsten und gleich oft auf, ist der Datensatz bimodal. Bei drei oder mehr häufigsten Werten spricht man von multimodal. Gibt es keinen Wert, der häufiger ist als die anderen, gibt es auch keinen Modus. Bei den Werten 2, 4, 4, 7, 9, 9 treten sowohl 4 als auch 9 jeweils zweimal auf. Der Datensatz ist daher bimodal mit den Modi 4 und 9.

Die drei zusammen lesen#

Indem Sie Mittelwert, Median und Modus vergleichen, erhalten Sie Aufschluss über die Form der Datenverteilung. Liegt der Mittelwert deutlich über dem Median, dann verzerren hohe Werte die Daten. Umgekehrt ziehen niedrige Werte den Mittelwert nach unten, wenn er deutlich unter dem Median liegt. Stehen Mittelwert, Median und Modus eng beieinander, sind die Daten ungefähr symmetrisch verteilt. Die Spannweite, also der größte Wert minus dem kleinsten, gibt an, wie weit die Werte um die Mitte verteilt sind.

Häufige Fragen#

Wie findet man den Median bei einer geraden Anzahl von Werten?#

Ordnen Sie die Werte der Größe nach und berechnen Sie den Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Bei den Testnoten 55, 60, 65, 70, 75, 80 sind die beiden mittleren Werte 65 und 70. Daraus ergibt sich der Median: (65 + 70) / 2 = 67,5. Der Median kann eine Zahl sein, die in den Daten selbst nicht vorkommt.

Was bedeutet es, wenn ein Datensatz mehr als einen Modus hat?#

Wenn zwei Werte am häufigsten auftreten, nennt man den Datensatz bimodal. Bei drei oder mehr häufigsten Werten ist er multimodal. Gibt es keinen Wert, der häufiger auftritt, fehlt ein Modus. Der Mittelwert und der Median sind immer einzelne Zahlen, während der Modus eine Liste von Zahlen sein kann oder sogar leer bleibt.

Warum ist der Median bei Einkommen besser als der Mittelwert?#

Wenige extrem hohe Einkommen können den Mittelwert stark anheben, weit über das hinaus, was die meisten erreichen. Das verzerrt das Bild des typischen Einkommens. Der Median hingegen zeigt den mittleren Verdiener und ignoriert die Ausreißer, was ihn bei schiefen Verteilungen zu einem faireren Maß macht.

Wie wirken sich Ausreißer auf Mittelwert, Median und Modus aus?#

Ausreißer beeinflussen den Mittelwert am meisten, da er jeden Wert einbezieht. Der Median bleibt nahezu unverändert, weil er allein von der Position in der Mitte abhängt. Der Modus bleibt von einem einzelnen Extremwert unbeeinflusst, weil er auf der Häufigkeit und nicht auf der Größe basiert.

Was ist der Unterschied zwischen Stichproben- und Grundgesamtheitsdaten?#

Die Grundgesamtheit umfasst alle Mitglieder der Gruppe, die Sie untersuchen möchten, während eine Stichprobe nur einen Teil dieser Gruppe darstellt, den Sie tatsächlich messen. Mittelwert, Median und Modus werden in beiden Fällen gleich berechnet. Der Unterschied wird wichtiger bei Streuungsmaßen wie der Varianz, die in Stichproben einen leicht abweichenden Nenner verwenden.

Können Mittelwert, Median und Modus alle dieselbe Zahl sein?#

Ja. In einem vollkommen symmetrischen Datensatz mit einer einzigen Spitze, wie z.B. 3, 4, 4, 4, 5, sind alle drei Kennzahlen gleich 4. Wenn die drei Werte weiter auseinanderliegen, ist der Datensatz entweder schiefer oder die Werte sind weiter gestreut.