Rechner für Standardabweichungen

Standardabweichung auf einen Blick#

Die Standardabweichung misst, wie stark eine Zahlenreihe um den Mittelwert streut. Sie ist die Quadratwurzel der Varianz: Berechnen Sie den Mittelwert, quadrieren Sie den Abstand jedes Werts zum Mittelwert, bilden Sie den Durchschnitt dieser quadrierten Abstände und ziehen Sie daraus die Wurzel. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen, eine große, dass sie weiter gestreut sind.

Es gibt zwei Varianten. Die Standardabweichung der Population teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch N, die Anzahl aller Werte, und wird genutzt, wenn die Daten die ganze Gruppe umfassen. Die Standardabweichung der Stichprobe teilt stattdessen durch N minus 1. Das gleicht aus, dass eine Stichprobe die Streuung tendenziell unterschätzt, und kommt zum Einsatz, wenn die Daten ein Ausschnitt aus einer größeren Grundgesamtheit sind.

Wie berechnet man die Standardabweichung?#

Nehmen Sie den Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Es sind 8 Werte mit einer Summe von 40, der Mittelwert beträgt also 40 geteilt durch 8, das ergibt 5. Ziehen Sie den Mittelwert von jedem Wert ab, um die Abweichungen zu erhalten: -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2 und 4. Quadrieren Sie jede Abweichung: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 und 16. In der Summe ergibt das 32.

Dieser Datensatz hat also eine Standardabweichung der Population von 2 und eine Standardabweichung der Stichprobe von etwa 2,138. Die beiden unterscheiden sich, weil die Stichproben-Variante durch eine kleinere Zahl teilt, was das Ergebnis etwas größer macht.

Geben Sie Ihre Zahlen oben in den Rechner ein, um den genauen Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung mit jedem einzelnen Schritt zu erhalten. Wählen Sie die Populationsformel, wenn Ihre Daten die ganze Gruppe abdecken, oder die Stichprobenformel, wenn es ein Ausschnitt ist, denn diese Wahl verändert das Ergebnis.

Standardabweichung und Varianz im Vergleich#

Obwohl Varianz und Standardabweichung beide die Streuung von Daten messen, tun sie das in unterschiedlichen Einheiten. Bei der Varianz handelt es sich um den Durchschnitt der quadrierten Abweichungen, was bedeutet, dass ihre Einheit quadriert ist, wie zum Beispiel Euro im Quadrat oder Zentimeter im Quadrat. Die Standardabweichung hingegen ist die Quadratwurzel der Varianz, wodurch sie das Ergebnis auf die ursprüngliche Einheit zurückführt. Das macht sie leichter verständlich. Nehmen wir den Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: Hier beträgt die Varianz der Population 4, die Standardabweichung hingegen ist 2, und zwar in der gleichen Einheit wie die Daten selbst.

Das Ergebnis mit der empirischen Regel lesen#

In einer annähernd normalen, glockenförmigen Verteilung gibt Ihnen die Standardabweichung einen Hinweis darauf, wo die meisten Ihrer Werte liegen. So befinden sich etwa 68 Prozent der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, rund 95 Prozent innerhalb von zwei, und nahezu 99,7 Prozent innerhalb von drei Standardabweichungen. Man nennt das die empirische Regel oder auch 68-95-99,7-Regel.

Bei einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15 kann man also sagen, dass rund 95 Prozent der Werte sich im Bereich zwischen 70 und 130 befinden. Werte, die über drei Standardabweichungen hinausgehen, sind selten und oft als Ausreißer zu betrachten.

Wo die Standardabweichung zum Einsatz kommt#

In der Finanzwelt dient die Standardabweichung als Maßstab dafür, wie sehr die Renditen einer Anlage um ihren Durchschnittswert schwanken. Das ist ein häufig verwendetes Maß für Volatilität und Risiko. In der Qualitätskontrolle, etwa bei Six Sigma, wird die Standardabweichung verwendet, um Kontrollgrenzen zu setzen und zu erkennen, wenn ein Prozess aus der Norm gerät. Egal ob in Umfragen oder Prüfungen: Sie zeigt, wie eng Antworten oder Ergebnisse um den Durchschnittswert streuen.

Häufige Fragen zur Standardabweichung#

Was ist der Unterschied zwischen der Standardabweichung von Population und Stichprobe?#

Der Unterschied liegt im Nenner. Bei der Standardabweichung der Population teilt man durch N, die Gesamtanzahl. Bei der der Stichprobe durch N minus 1. Für den Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ergibt das 2 für die Population und etwa 2,138 für die Stichprobe.

Warum ist die Standardabweichung der Stichprobe größer?#

Das liegt daran, dass man durch N minus 1 teilt statt durch N. Der kleinere Nenner führt zu einem etwas größeren Wert. Diese Anpassung kompensiert die Tatsache, dass eine Stichprobe die wahre Streuung der gesamten Grundgesamtheit in der Regel etwas unterschätzt.

Soll ich die Formel für Population oder Stichprobe verwenden?#

Verwenden Sie die Populationsformel, wenn Ihre Daten die gesamte Gruppe darstellen, die Sie untersucht haben. Greifen Sie zur Stichprobenformel, wenn Ihre Daten nur ein Teil einer größeren Gruppe sind, die Sie schätzen möchten.

Kann die Standardabweichung null sein?#

Ja, das ist möglich. Wenn alle Werte gleich sind, gibt es keine Streuung. Daher sind sowohl die Varianz als auch die Standardabweichung null.